Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Случай, когда матрица А близка к единичной.






Если после вычитания из диагональных элементов по 1 сумма модулей элементов всех строк (столбцов) матрицы А будет меньше 1, то систему легко свести к нужному в методе простых итераций виду, выделяя из i- го уравнения x i и перенося его в левую часть.

Этот случай похож на предыдущий, но обязательно ли матрица, близкая к единичной является матрицей с диагональным преобладанием?.

Упражнение 9.6. Выяснить, бывают ли системы линейных уравнений без диагонального преобладания, но с матрицей А, близкой к единичной.

Пример2.

ó

Заметим, что в некоторых случаях удобнее комбинировать оба способа преобразования уравнений исходной системы – деление на диагональные элементы и вычитание из них 1.

Упражнение 9.7 Для матриц из примеров 1 и 2 посчитать их нормы в трех различных метриках пространства Rn и найти минимальную (число q).

Упражнение 9.8. Для системы из примера1, приведенной к нужному виду, взять в качестве Х0 нулевой вектор и построить два следующих вектора итерационной последовательности.

Напомним, что метод простых итераций, также как и другие итерационные методы решения систем линейных уравнений, обычно применяют, если порядок системы велик, например сотни или тысячи уравнений, и применение любых прямых методов затруднено в связи с очень большим количеством вычислений.

Контрольные вопросы.

1. К какому виду преобразуют исходную систему для применения метода итераций?

2. Следствием какого общего метода является рассматриваемый метод?

3. Какие еще похожие методы встречались в пройденной части курса?

4. В чем преимущество метода итераций перед другими методами?

5. В каких случаях стремятся применять метод простых итераций?

6. Каковы условия применимости данного метода?

7. В чем суть метода?

8. Какова скорость сходимости последовательности векторов к решению?

9. Сформулируйте условие окончания вычислений в методе простых итераций?

10. Какие простые случаи сведения системы к нужному в методе итераций виду Вы знаете?

Содержание лабораторной работы.

1. Ответить на вопросы контролирующей программы.

2. Составить, отладить и протестировать на контрольных примерах программу решения систем линейных уравнений методом простых итераций.

3. Попробовать применить программу к системам, где метод простых итераций не применим. Дополнить программу проверкой применимости метода.

4. (дополнительно). Дополнить программу процедурой, которая приводит систему с диагональным преобладанием к необходимому виду.

5. (дополнительно). Составить программу, которая проверяет, можно ли с помощью перестановки уравнений добиться того, что матрица станет матрицей с диагональным преобладанием.

6. (дополнительно). Видоизменить программу метода простых итераций так, чтобы получились вычисления по методу Зейделя.

7. Составить отчет, содержащий цель и назначение работы, постановку задачи, текст программы и варианты исполнения для своих данных.

Варианты заданий.

Вариант 1 {x1 + 7x2 + 25x3 = 7 {20x1 + 11x2 – 5x3 = 22 Ответ: (3, -3, 1) {x1 –10x2 +2x3 = 35 Вариант 2 {15x1 + 4x2 + 50x3 = -17 {10x1 - 3x2 + 4x3 = 36 Ответ: (5, 2, -2) {-8x1 + 25x2 +3x3 = 4
Вариант 3 {9x1 + 20x2 - 4x3 = 34 {10x1 + 5x2 + 2x3 = -1 Ответ: (-2, 3, 2) {6x1 –3x2 +25x3 = 29 Вариант 4 {8x1 + 11x2 + 25x3 = -48 {7x1 - 50x2 – 12x3 = 0 Ответ: (2, 1, -3) {10x1 + x2 - 3x3 = 30
Вариант 5 {x1 + 2x2 - 25x3 = 23 {10x1 + 3x2 + x3 = 30 Ответ: (4, -3, -1) {15x1 + 50x2 - 7x3 = -83 Вариант 6 {2x1 + 25x2 - x3 = 34 {10x1 - 4x2 + x3 = 23 Ответ: (3, 1, -3) {3x1 –7x2 - 20x3 = 62
Вариант 7 {3x1 - 10x2 - 5x3 = 41 {3x1 - 2x2 + 10x3 = 14 Ответ: (2, -4, 1) {20x1 + 5x2 - 3x3 = 17 Вариант 8 {10x1 + x2 - 3x3 = 40 {-3x1 + 5x2 + 25x3 = 55 Ответ: (5, -1, 3) {x1 – 20x2 - 4x3 = 13
Вариант 9 {20x1 + 2x2 - 9x3 = 65 {x1 -3x2 + 25x3 = 38 Ответ: (4, -3, 1) {3x1 +10x2 -2x3 = -20 Вариант 10 {25x1 + 4x2 + 3x3 = -32 {2x1 + 3x2 + 10x3 = 25 Ответ: (-2, 3, 2) {7x1 + 20x2 - 8x3 = 30
Вариант 11 {3x1 - 10x2 - 2x3 = 27 {25x1 + 12x2 – 5x3 = 46 Ответ: (3, -2, 1) {3x1 + 7x2 + 50x3 = 45 Вариант 12 {5x1 - 3x2 + 10x3 = 3 {6x1 + 25x2 – 13x3 = 0 Ответ: (2, -1, -1) {20x1 – 3x2 +5x3 = 38
Вариант 13 {10x1 - 2x2 + 3x3 = -36 {-12x1 + 4x2 – 25x3 = 70 Ответ: (-1, 2, -2) {4x1 + 20x2 + 5x3 = 26 Вариант 14 {3x1 + 10x2 - x3 = 5 {5x1 - 8x2 + 50x3 = 60 Ответ: (2, 0, 1) {20x1 + 12x2 - 3x3 = 37
Вариант 15 {20x1 - 3x2 + x3 = 10 {3x1 + 2x2 + 10x3 = -1 Ответ: (1, 3, -1) {7x1 + 50x2 - 3x3 = 160 Вариант 16 {2x1 + x2 + 10x3 = 45 {3x1 - 25x2 + 11x3 = 25 Ответ: (2, 1, 4) {20x1 + 3x2 - 4x3 = 27

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал