Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Полиномиальная интерполяция.






Чаще всего интерполирующую функцию φ (x) находят в виде алгебраического многочлена. Такой способ приближения имеет в своей основе гипотезу, что на небольших отрезках изменения х функция f(x) может быть достаточно хорошо приближена с помощью параболы некоторого порядка, аналитическим выражением которой и будет алгебраический многочлен. Это обусловлено как большей простотой вычисления полиномов по сравнению с другими классами интерполирующих функций, так и более развитым математическим аппаратом.

Задача полиномиальной интерполяции состоит в следующем: для данной функции y=f(x) строим многочлен

j(x)=х0 +a1x + a2x2 +... + amxmn. (1)

принимающий в заданных точках xi те же значения yi, что и функция f(x), т.е.

j(xi) = yi, i = 0, 1, …, n. (2)

При этом предполагается, что среди значений x i нет оди­наковых, т. е. xi ¹ xk при i¹ k. Точки xi называются уз­лами интерполяции, а много­член j(х)- интерполяционным многочленом.

Таким образом, близость ин­терполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпада­ют па заданной системе точек (рис. 1).

Рис. 1

Максимальная степень ин­терполяционного многочлена m=n; в этом случае говорят о глобальной интерполяции поскольку один многочлен

j(x)= a0 + a1х +... + аnхn (3)

используется для интерполяции функции f(х) на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента х. Ко­эффициенты aj многочлена (3) находятся из системы уравнений (2). Можно показать, что при xi ¹ xk (i¹ k) эта система имеет единственное решение.

Интерполяционные многочлены могут строиться от­дельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения х. В этом случае имеем кусочную интерполяцию.

Как правило, интерполяционные многочлены исполь­зуются для аппроксимации функции в промежуточных точках между крайними узлами интерполяции, т. е. при x0< х< xn. Однако иногда они используются и для при­ближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка (х < x0, х> xn). Это приближение называют экстраполяцией.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.005 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал