Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






В л а с т и в о с т і е л і п с а






1 .Еліпс належить до кривих другого порядку (це випливає із канонічного

рівняння еліпса).

2 .Еліпс є обмеженою кривою.

3 .Еліпс має вертикальну та горизонтальну осі симетрії, а також центр симетрії.

4 .Еліпс перетинає осі координат у точках A1(-a; 0), A2 (a; 0), B1(0; -b), B2(0; b), які є вершинами еліпса.

Величини і 2b називаються відповідно великою та малою осями еліпса, а а і b - напівосями.

(Таким чином, еліпс вміщується в прямокутник із сторонами і 2b. Сторони прямокутника дотикаються до еліпса в його вершинах.)

5. За напівосями можна побудувати еліпс

(беруть нерозтяжну нитку довжиною ; кінці нитки закріплюють у фокусах F1 і F2; олівцем натягують нитку і креслять еліпс).

Якщо у канонічному рівнянні еліпса а =b, то дістанемо рівняння кола =

з центром у початку координат і радіусом b.

(Оскільки для еліпса , то при а = b маємо с =0. Таким чином, коло – це еліпс, у якого фокуси збігаються з центром симетрії, тобто фокальна відстань дорівнює нулю.)

Еліпс, фокуси якого лежать на осі ОY

 

 

Якщо фокуси еліпса F1(0; c), F2(0; - c) лежать на осі ОY, то його канонічне рівняння має вигляд

 


, b> а(5)


cпіввідношення між а, b і c:

 

Координати вершин еліпса A1(a; 0), A2 (-a; 0), B1(0; b), B2(0; -b),

B1 B2 = 2b – велика вісь,

A1 A2 = 2a – мала вісь,

F1 F2 = 2с - фокальна відстань.

 

Слід зауважити, що звичайним циркулем еліпс побудувати неможливо, бо будь-якої довжини дуга не може збігатися з будь-якою частиною еліпса. Фігура, подібна за формою до еліпса і побудована за допомогою циркуля, не еліпс, а овал. Еліпс одержується механічно шляхом обертання гнучкого круга кільцевої форми.

 

Ексцентриситет еліпса

Для характеристики еліпса вводять поняття ексцентриситета еліпса, який характеризуєвідхилення еліпса від кола – степінь «витягнутості» еліпса.

Означення: Ексцентриситетом еліпса називається відношення відстані між фокусами до довжини великої осі.

Ексцентриситет еліпса позначається буквою ε:

ε або ε .

Оскільки, за означенням 2а > 2с, то ексцентриситет еліпса ε завжди є правильним дробом, тобто 0 ε .

Якщо величина ексцентриситету еліпса ε ≈ 1, то еліпс сильно «витягнутий» уздовж

великої осі; при малому значенні ексцентриситету еліпса ε (ε ≈ 0 ) еліпс близький до кола. Якщо ε = 0, то еліпс перетворюється в коло.

 

 

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Еліпс задано рівнянням . Визначити довжину його осей, координати вершин і фокусів.

Розв΄ язання:

Зведемо рівняння еліпса до канонічного рівняння, поділивши обидві частини даного рівняння на 36, дістанемо

.

звідки і , або а = 3 і b = 2. Отже, велика вісь еліпса A1 A2 = 2а=6, мала B1 B2 = 4.

Вершинами еліпса будуть точки A1(-3; 0), A2 (3; 0), B1(0; -2), B2(0; 2). Для відшукання фокусів використаємо , звідки

,

.

Отже, фокусами будуть точки F1(- ; 0), F2( ; 0).

Відповідь: довжини осей - A1 A2 =6, B1 B2 = 4; координати вершин - A1(-3; 0), A2 (3; 0), B1(0; -2), B2(0; 2); координати фокусів - F1(- ; 0), F2( ; 0).

 

Приклад 2. Знайти координати фокусів, довжини осей і ексцентриситет еліпса, заданого рівнянням .

Розв΄ язання:

Зведемо рівняння еліпса до канонічного рівняння, поділивши обидві частини рівності на 32:

,

.

Одержали, що , , звідки а = 4 і b = .

Оскільки b > а, то фокуси еліпса розташовані на осі ординат. Вони мають координати F1(0; c), F2(0; - c), де знаходимо із співвідношення r w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> .

Підставимо значення а = 4 і b , одержимо

; , c = 4.

Отже, фокусами будуть точки F1(0; 4), F2(0; -4).

Знайдемо: велику вісь еліпса 2b = ; малу вісь 2a = 8; ексцентриситет еліпса

ε .

Відповідь: координати фокусів - F1(0; 4), F2(0; -4); довжини осей - 2b = , 2a = 8;

ε .

Приклад 3. Скласти канонічне рівняння еліпса, у якого мала вісь дорівнює 6, а відстань між фокусами - 8.

Розв΄ язання:

Оскільки мала вісь 2b = , а 2с = 8, то b = , c = 4. Тоді фокуси розташовані на осі ОХ.

Із cпіввідношення міжа, b і c: r w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> , знайдемо а:

r w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> ,

, тобто .

Отже, канонічне рівняння еліпса має вигляд .

Відповідь: .

Приклад 4. Записати канонічне рівняння еліпса, що проходить через точку М(5; 0), якщо фокальна відстань дорівнює 6.

Розв΄ язання:

Оскільки відстань між фокусами дорівнює 6, то с= 3. За умовою точка М(5; 0) належить еліпсу, тож її координати задовольняють рівняння еліпса. Тому , .

Із рівності знаходимо .

Отже, шукане рівняння

.

Відповідь:

Приклад 5. Звести до канонічного вигляду рівняння і показати, що воно є рівнянням еліпса. Знайти координати фокусів.

Розв΄ язання:

Перепишемо дане рівняння у вигляді і поділимо обидві його частини на 3600:

.

Це рівняння еліпса. Оскільки для еліпса і , , то

, тобто с = 8. Фокуси еліпса знаходитимуться в точках F1(-8; 0), F2(8; 0).

Відповідь: Фокуси еліпса F1(-8; 0), F2(8; 0).

 

Приклад 6. Записати рівняння еліпса, фокусами якого є точки (0; - ) і ( ), а велика вісь дорівнює 6.

Розв΄ язання:

Фокуси еліпса лежать на осі ОY, отже, 2b= 6, тоді b= 3.

За формулою знаходимо r wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> . Підставивши значення і в канонічне рівняння, маємо .

Відповідь: .

Приклад 7. Записати рівняння еліпса з фокусами на осі ОХ, якщо відстань між фокусами дорівнює 12, а ексцентриситет ε = 0, 6.

Розв΄ язання:

За умовою задачі F1 F2 = 2с=12, отже, с=6, ε = = 0, 6. Підставивши в цю рівність значення с = 6, дістанемо , тобто a = 10.

За формулою знайдемо .

Отже, шукане рівняння має вигляд

> .

Відповідь: > .

 

 

Г і п е р б о л а

 

Означення: Гіперболою називають геометричне місце точок площини, для яких модуль різниці відстаней до двох заданих точок (фокусів) є величиною сталою й меншою, ніж відстань між фокусами.

Виведемо рівняння гіперболи. Виберемо систему координат таким чином, щоб вісь ОХ проходила через фокуси F1 і F2, а вісь ОY – через середину відрізка F1 F2 перпендикулярно до нього. Тоді у вибраній системі координат фокуси мають координати: F1(-с; 0), F2(с; 0).

Візьмемо на гіперболі довільну точку М(х; y).

 

За означенням гіперболи відстань між фокусами більша за різницю відстаней до фокусів , тому 2с > 2а або а < с і маємо ,

. (1)

Запишемо рівність (1) у координатах.

За формулою відстані між двома точками А(х1; у1; ), B (х2; у2; )

׀ АВ ׀ = дістанемо

 

, (2)

Перенесемо один корінь у праву частину й піднесемо до квадрата обидві частини рівності:

,

,

,

виконаємо спрощення:

,

,

,

поділимо ліву і праву частини рівності на 4:

,

знову піднесемо обидві частини рівності до квадрата:

,

),

розкриємо дужки

,

,

згрупуємо доданки

,

,

(3)

Оскільки за означенням гіперболи F1 F2 > ( , тобто 2с > 2а, то > 0.

Позначимо .

Тоді рівність (3) запишемо так:

.

Поділивши обидві частини цієї рівності на , дістанемо

 


(4)


Рівняння (4) канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі ОХ.


cпіввідношення між а, b і c:


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.021 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал