Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Формулы конечного дифференцирования






Для решения некоторых задач часто необходимо знать не только значения функции, но и ее производные. Во многих случаях вычисление производных достаточно сложно, а для таблично заданных функций просто невозможно. Поэтому возникает проблема приближенного вычисления значения производных функции в точке. Используя определение производной

,

в качестве приближенного значения первой производной можно взять величину

.

Однако сделать заключение о величине погрешности вычисления производной в общем случае невозможно. Поэтому необходимо сделать некоторое предположение о дифференцируемости анализируемой функции.

В общем случае формулы для численного дифференцирования получают, используя разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки x 0. Рассмотрим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Рассмотрим различные случаи.

Пусть C2[ a; b ]. Тогда .

Воспользуемся разбиением с равноотстоящими узлами. Пусть . Тогда

.

Поскольку x 1 - x 0 = h, то, преобразовав данное выражение, получим:

. (4.13)

В этом случае погрешность вычисления производной f /(x 0) составит:

, где .

Если заданная функция более гладкая, то погрешность вычисления производной можно уменьшить.

Пусть C3[ a; b ]. Тогда

.

Подставим точки x 1 = x 0 + h и x -1 = x 0 - h:

(4.14)

(4.15)

Вычтем из равенства (4.14) равенство (4.15):

Преобразуя полученное выражение, имеем:

.

Так как по предположению о гладкости функции f третья производная f /// непрерывна, то по теореме о среднем найдется точка x такая, что .

Учитывая это обстоятельство, получим:

,

или, отбрасывая второе слагаемое:

. (4.16)

Погрешность в этом случае не превосходит модуля отброшенного слагаемого:

.

 

Аналогичным образом можно получить формулы для второй производной f// (x 0).

Пусть C4[ a; b ]. Тогда:

.

Подставим точки x 1 = x 0 + h и x -1 = x 0 - h:

Сложим полученные равенства:

Таким образом,

или приближенное значение второй производной в точке х 0 равно:

. (4.17)

При этом погрешность .

Другим способом получения формул численного дифференцирования является приближение функции полиномом Лагранжа. В этом случае можно в качестве производных функции f(x) брать соответствующие производные многочлена Ln(x). Для различных т и п получаем:

1) m= 1; n= 2: .

.

.

2) m= 2; n= 2:

и т.д.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.007 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал