Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Необходимый признак сходимости числового ряда.






Теорема: Пусть числовой ряд

u1+u2+...+un+..., (1)

сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член un стремится к нулю
Доказательство. Из условия теоремы имеем

Так как

Sn - Sn-1 = un

то

Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство

,

а он, однако не является сходящимся.
Так гармонический ряд

,

для которого

,

расходится.
Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если

,

то ряд (1) расходится.
В самом деле, если бы он сходился, то

равнялся бы нулю.
Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы Sn, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд

,

расходится, так как

,

 

43. Признаки сходимости ряда, 1 и 2 признаки сравнения, интегральный признак Коши.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами и и каждый член ряда не превосходит соответствующего члена ряда, т.е. выполняется (n = 1, 2, 3, …). Тогда, если сходится ряд , то сходится и ряд . Если ряд расходится, то ряд также расходится.

Этот признак остается в силе, если условие выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого номера n = N.

 

Второй признак сравнения. Если существует конечный отличный от нуля предел , то оба ряда с положительными членами и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

 

При использовании этих признаков исследуемый ряд часто сравнивается

или с бесконечной геометрической прогрессией (q> 0) , которая при q < 1 сходится и имеет сумму S = a / (1- q), а при q≥ 1 расходится,

или с расходящимся гармоническим рядом


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал