Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Линеаризация






Для того, чтобы оценить неизвестные параметры β 0 , …, β n нелинейной регрессионной модели, необходимо привести ее к линейному виду. Суть линеаризации нелинейных по независимым переменным регрессионных моделей заключается в замене нелинейных факторных переменных на линейные. В общем случае полиномиальной регрессии процесс замены нелинейных переменных функции п-го порядка выглядит следующим образом: x = с1,; х2 = c2; xЗ = с3;...; xп = cп.

Тогда уравнение множественной нелинейной регрессии можно записать в виде линейного множественного регрессионного уравнения

yi = β 0 + β 1xi + β 2x2i + … +β nxni + ε i =>

=> yi = β 0 + β 1c1i + β 2c2i + … +β ncni + ε i

Гиперболическую функцию также можно привести к линейному виду с помощью замены нелинейной факторной переменной на линейную. Пусть 1/ х = с. Тогда исходное уравнение гиперболической функции можно записать в преобразованном виде:

yi = β 0 + β 1 / xi + ε i => yi = β 0 + β 1сi + ε i

Таким образом, и полиномиальную функцию любой степени, и гиперболоид можно свести к модели линейной регрессии, что позволяет применять к преобразованной модели традиционные методы нахождения неизвестных параметров уравнения регрессии (например, классический МНК) и стандартные методы проверки различных гипотез.

Ко второму классу нелинейных моделей относятся регрессионные модели, в которых результативная переменная yi нелинейно связана с параметрами уравнения β 0 , …, β n. К такому типу регрессионных моделей относятся:

1) степенная функция

yi = β 0 · x i β 1 · ε i

2) показательная функция

yi = β 0 · β 1xi · ε i

3) логарифмическая парабола

yi = β 0 · β 1xi · β 2xi · ε i2

4) экспоненциальная функция

yi = e β 0+β 1xi · ε i

5) обратная функция

и другие.

Нелинейные по параметрам регрессионные модели в свою очередь делятся на модели подлежащие линеаризации (внутренне линейные функции) и неподлежащие линеаризации (внутренне нелинейные функции). Примером моделей, которые можно свести к линейной форме, является показательная функция вида yi = β 0 · β 1xi · ε i, где случайная ошибка ε i мультипликативно связана с факторным признаком xi. Д анная модель нелинейна по параметру β 1. Для ее линеаризации вначале осуществим процесс логарифмирования:

ln yi = ln β 0 + xi ·ln β 1 + ln ε i

Затем воспользуемся методом замен. Пусть ln yi = Yi; ln β 0 = А; ln β 1 = В; ln ε i = Еi.

Тогда преобразованная показательная функция имеет следующий вид:

Yi = А + В xi + Еi.

Следовательно, показательная функция yi = β 0 · β 1xi · ε i является внутренне линейной, и оценки ее параметров могут быть найдены с помощью традиционного метода наименьших квадратов.

Если же взять показательную функцию, включающую случайную ошибку ε i аддитивно, т.е. yi = β 0 · β 1xi+ ε i, то данную модель уже невозможно привести к линейному виду с помощью логарифмирования. Она является внутренне нелинейной.

Пусть задана степенная функция вида yi = β 0 · x i β 1 · ε i. Прологарифмируем обе части уравнения:

ln yi = ln β 0 + β 1·ln xi + ln ε i

Теперь воспользуемся методом замен: ln yi = Yi; ln β 0 = А; ln xi = Xi; ln ε i = Еi.

Тогда преобразованная степенная функция имеет следующий вид:

Yi = А + β 1 Xi + Еi.

Степенная функция также является внутренне линейной и ее оценки можно найти с помощью традиционного метода наименьших квадратов. Но если взять степенную функцию; виде уравнения yi = β 0 · x i β 1+ ε i, где случайная ошибка аддитивно связана с факторной переменной, то модель становится внутренне нелинейной.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.007 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал