Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Численные методы






Дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

(5.1)

Требуется найти решение у= у(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию:

у(х0) = у0 (5.2)

Такая задача называется задачей Коши. Геометрический смысл решения этой задачи состоит в нахождении интегральной кривой у=у(х), проходящей через заданную точку А00, у0).

 

 
 

 


Рисунок 5.1. - Интегральная кривая у=у(х),

 

Численное решение задачи Коши состоит в нахождении значений у1, у2, у3, ….уn в точках , , …, отрезка [a, b], где h - шаг интегрирования, х0 = a, хn = b.

Нанеся точки (х0, у0), (х1, у1), …(хn, уn) на координатную плоскость и соединив их отрезками ломаной прямой, получим ломаную линию, называемую ломаной Эйлера – приближенное изображение интегральной кривой (рис.5.2).

y
x0y0
x0 x1 x2 x3
x
x1y1
x2y2
x3y3

Рисунок 5.2 - Ломаная Эйлера.

 

 

Метод Эйлера, простейший и сравнительно грубый численный метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, применяется в основном для ориентировочных расчетов.

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений.

Пусть задана система двух уравнений первого порядка

c начальными условиями y(x0)=y0; z(x0)=z0.

Приближенные значения y(xi)≈ yi; z(xi)≈ zi находится по формулам:

yi+1=yi+Δ yi; zi+1=zi+Δ zi,

где Δ yi=hf1(xi, yi, zi); Δ zi=hf2(xi, yi, zi) (i=0, 1, 2, …)

Метод Эйлера обладает малой точностью и дает сравнительно удовлетворительные результаты (в смысле погрешности) лишь при малых значениях h. Так как по существу метод Эйлера заключается в том, что интеграл дифференциального уравнения на каждом частичном отрезке [xi, xi+1] представляется двумя членами ряда Тейлора

y(xi +h)=y(xi)+hy’(xi) (i=0, 1, 2,...),

т.е. для этого отрезка имеется погрешность порядка h2.

Кроме того, при вычислении значений на следующем отрезке исходные данные не являются точными и содержат погрешности, зависящие от неточности предшествующих вычислений. К недостаткам метода следует отнести малую точность и систематическое накопление ошибок.

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал