Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Билет 19






1) Область V- простая (правильной), если выполняются два условия: проекция V на какую-либо координатную плоскость простая область D, и любая прямая, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через внутреннюю точку V, пересекает границу V в двух точках.

Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному. Если V - простая область с кусочно-гладкой границей, f(x, y, z) - непрерывная функция, то .

Доказ. Установим, что для повторного интеграла в правой части формулы имеют место все свойства интеграла, разбьём область V на подобласти Vi (i=1, 2…n), пользуюсь свойствами аддитивности и теоремой о среднем, представим повторный интеграл как интегральную сумму для тройного ⎟ и перейдём к пределу при d=max diam(Vi) → 0.

 

Распишем двойной интеграл по простой области D в виде повторного, получим формулу для вычисления тройного интеграла:

Пример. V-внутренность конуса. D-проекция окружности на уровне z=h на Оxy. .

x
y
z
2) Определение поверхностного интеграла второго рода. Пусть в пространстве переменных x, y, z задана ограниченная кусочно-гладкая двусторонняя поверхность , на которой введена ориентация (т.е. с помощью единичного вектора нормали в какой-либо точке задана сторона поверхности), и на которой определена функция R (x, y, z).Разобьём поверхность на частей , на каждой из частей выберем произвольную точку , найдём , нормаль в точке к выбранной стороне поверхности, и площадь проекции части на плоскость ОХУ. В интегральную сумму слагаемое возьмём со знаком " +", если (т.е. если угол между и осью Oz - острый; проекция на орт оси Oz положительна), и со знаком " -", если . В результате интегральная сумма будет иметь вид . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , то функция R (x, y, z) называется интегрируемой по поверхности , а значение этого предела называется поверхностным интегралом второго рода, или поверхностным интегралом по координатам х, у, и обозначается . Обычно рассматривается сумма этих интегралов, которая обозначается .

Физический смысл: поток векторного поля через поверхность в направлении внешней нормали.(сколько жидкости протекает за единицу времени через заданную поверхность).

Пример. Вычислить , где s - часть плоскости , ограниченная координатными плоскостями x =0, у =0, z =0. Сторона поверхности выбирается так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью Oz.

Решение. Из двух направлений нормали к s мы должны выбрать такое, для которого коэффициент при орте (т.е. ) положителен, поэтому выбираем знак " -", тогда . В соответствии со знаками направляющих косинусов, . Вычисляем эти интегралы.

1.

Dyz
y
z
-3
4
z= 3 y /4-3
.

2.

Dxz
x
z
-3
6
x= 6+2 z
Dxy
y
x
4
6
x= 6-3 y /2
.

3. . Окончательно,

 

3) Интегральный признак Коши. Док-во условия сходимости рядов Дирихле.

Теорема. Пусть члены положительного числового ряда являются значениями непрерывной монотонно убывающей неотрицательной функции при натуральных значениях аргумента: Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Теперь мы можем дать простое доказательство того, что ряд Дирихле сходится при s > 1 и расходится в остальных случаях. Функция удовлетворяет условиям теоремы: непрерывна, монотонно убывает, . Интеграл сходится при s > 1 и расходится при других значениях s.

4)

5)

Промежуточная точка С(π /2; -π /4)

I) II) dx=1 Конечный ответ I=2

6)

x(-∞; +∞)


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.008 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал