![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Використання співвідношень між елементами геометричних фігур
В окремих випадках при доведенні нерівностей можна використовувати певні відомі співвідношення між геометричними фігурами. Мова іде про те, що додатним значенням змінних, що фігурують у нерівності присвоюються деякі кількісні характеристики геометричних фігур (довжини відрізків, площі, об’єми), після чого чисто геометричними методами встановлюються необхідні співвідношення: спочатку між геометричними величинами, а потім роблять відповідні висновки про саму алгебраїчну нерівність. Задача 4.2.1. Довести, що при довільних додатних чисел
Доведення. Розглянемо відрізки Задача 4.2.2. При яких значеннях параметра приймає найбільше значення?
Задача 4.2.3. Знайти найменше значення виразу
Розв’язання. Введемо в розгляд функцію
Насамперед зауважимо, що для всіх Розглянемо випадок, коли
звідки У випадку Отже, найменше значення виразу дорівнює Задача 4.2.4. Довести нерівність
У випадку, коли Задача 4.2.5. Довести, що для довільних значень змінних
Доведення. Спочатку розглянемо випадок, коли з нерівності трикутника робимо висновок, що задане співвідношення вірне. Ще дві аналогічні до заданої нерівності отримаємо, зробивши у ній циклічну перестановку змінних
Розглянемо випадок, коли дві змінні приймають від’ємні, а третя додатне значення (наприклад,
Випадок, коли всі три змінні приймають від’ємні значення зводиться до початкового доведення шляхом перепозначення Доведення нерівності, коли одна, дві або всі три змінні приймають значення 0, очевидні. Інше доведення даної нерівності, яке використовує ідеї координатного методу, нами було наведено у попередньому розділі (задача 3.1.2). Задача 4.2.6. Довести нерівність
Задача 4.2.7. Довести, що Доведення. Очевидно, що при
Але за умовою задачі Задача 4.2.8. Довести нерівність
Доведення. Розглянемо четвертину круга з радіусом 100. Впишемо у нього ступінчату фігуру, яка складається з 99 прямокутників з нижньою основою, що дорівнює 1 (рис. 19). Площа першого прямокутника дорівнює
Для другого прямокутника маємо
Площа ступінчатої фігури менша від площі чверті круга, тому
Розділ 5. Нерівності в геометрії Геометричні фігури крім притаманних їм чисто геометричних властивостей, описуються також своїми кількісними характеристиками, зокрема довжинами відрізків, величинами кутів, площами, об’ємами, тощо. У практичній діяльності такі величини часто доводиться порівнювати, оцінювати ті межі, в яких вони змінюються (тобто аналізувати числові величини, які вони не можуть перевищувати, або не бути меншими). У результаті виникає ряд геометричних задач, пов’язаних із необхідністю оцінки геометричних величин та доведенням нерівностей, що появляються при цьому. Окремі міркування, що стосуються певної класифікації методів доведення таких нерівностей, ми розглянемо у вигляді наступних задач.
|